Справочник вопросов и ответов
QUOR - электронный справочник

Исследовать функцию и построить график ​

Тег: Математика

ДАНО:Y(x) = x³ -12*x

ИССЛЕДОВАНИЕ.

1. Область определения D(y) ∈ R,  Х∈(-∞;+∞) - непрерывная , гладкая.

2. Вертикальная асимптота - нет - нет разрывов.

3. Наклонная асимптота - y = k*x+b.

k = lim(+∞) Y(x)/x = +∞ - нет наклонной (горизонтальной) асимптоты.  

4. Периода - нет - не тригонометрическая функция.

5. Пересечение с осью OХ.  

Разложим многочлен на множители.

Y=x*(x²-12) = x*(x - 2√3)*(x + 2√3) =  0.

Нули функции: Х₁ = -2√3, Х₂ = 0 ,  Х₃ = 2√3 (≈ +/- 3.46)

6. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательная - Y(x)<0 X∈(-∞;-2√3]U[0;2√3]  

Положительная -Y(x)>0 X∈[-2√3;0]U[2√3;+∞)

7. Пересечение с осью OY. Y(0) = 0  

8. Исследование на чётность.  

В полиноме только  нечётные степени - функция нечётная.  

9. Первая производная.    Y'(x) =  3*x² -12 = 3*(x-2)*(х+2) = 0

Корни Y'(x)=0.     Х = - 2,    Х= +2.

10. Локальные экстремумы.  

Максимум - Ymax(2) = 16.   Минимум - Ymin(-2) = -16.

11. Интервалы возрастания и убывания.  

Возрастает Х∈(-∞;-2;]U[2;+∞) , убывает - Х∈[-2;2]

12. Вторая производная - Y"(x) = 6* x  = 0

Корень производной - точка перегиба Х₆= 0

13. Выпуклая “горка» Х∈(-∞; Х₆ = 0]

Вогнутая – «ложка» Х∈[Х₆ = 0; +∞).

14. График в приложении.

Дано: y(x) = x⁴ - 2*x² - 3

Исследование.

1. Область определения: D(y)= X∈(-∞;+∞).

Гладкая, непрерывная.

2. Вертикальных асимптот - нет.    

3. Наклонная асимптота: k = lim(+∞)Y(x)/x = ∞  - асимптот - нет.

4. Нули функции, пересечение с осью ОХ.  

Делаем замену переменной: z = x².

z² -2*z - 3 = 0. D=16,  z₁ = 3,  z₂ = -1

Возвращаемся к подстановке.

x² = 3,  x₁ = -√3, x₂ = √3 - нули функции.

х² = - 1 - решения нет

Пересечение с осью ОУ:  y(0) = -3.  

5. Интервалы знакопостоянства.    

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈[-√3;√3] - между нулями функции.

Положительна: Y>0 - X∈(-∞;-√3]∪[√3;+∞) -вне нулей.  

6. Проверка на чётность.

В полиноме функции только четные степени - x⁴, x², x⁰ - функция чётная.

7. Поиск экстремумов по первой производной.      

y'(x) = 4*x³ -4*x = 4*x*(x²-1)= 4*x*(x-1)*(x+1) 0.  

Точка экстремумов: x₁ = -1, x₂ = 0, x₃ = 1.  

8. Локальные экстремумы.

Максимум: y(0) = -3.  

Минимумы: y(-1) = y(1) = - 4.

9. Интервалы монотонности.    

Возрастает - X∈[-1;0]∪[1;+∞).  

Убывает: X∈(-∞;-1]∪[0;1].  

10. Поиск перегибов по второй производной.    

y"(x) = 12*x² - 4 = 0.   x² = 1/3.  

Корни уравнения:  x₁ = - √3/3.    x₂ = √3/3 (≈0.57)

11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-∞;-√3/3]∪[√3/3;+∞).

Выпуклая - "горка" - Х∈[-√3/3;√3/3]

12. Область значений. E(y) - y∈[-4;+∞).    

13. График функции на рисунке в приложении.  

192